Ein musico-mathematisches Klavier- und Kammermusikrätsel

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    • Rätsel Nr. 7

      Der Komponist K des Klavierstücks A aus Frage 1 schrieb bekanntlich noch viele weitere Werke für Klavier, darunter eines (W), welches als Ausgangspunkt unserer Suche dient. Widmungsträger von W war der Komponist L. Der war nicht faul und revanchierte sich artig mit einem Werk X. - Eigentlich suchen wir aber ein Werk Y des Komponisten M. Was haben K, L, W und X nun mit M und Y zu tun? Sehr einfach: Y wurde (cum grano salis) für L zum Modell für X.

      Musikalischer Teil: Gesucht sind Titel und Komponist M des Klavierwerks Y.

      Mathematischer Teil: Das gesuchte Klavierwerk Y hat eine Nummer in demjenigen Verzeichnis, welches für Werke seines Komponisten M zumeist verwendet wird. Wir teilen diese Nummer zuerst durch zwei und schreiben in erste Ziffer des Ergebnisses in das Feld A9 und die zweite Ziffer in das Feld I9. Nun teilen wir die bereits halbierte Nummer nochmals durch zwei und schreiben die zweite Ziffer des dann erhaltenen Ergebnisses in das Feld F4.

      Lösungen

      Gesucht ist Y= die Fantasie C-Dur, die sogenannte „Wanderer-Fantasie“ op. 15 D 760 von M = Franz Schubert.

      Komponist K = Robert Schumann komponierte das Werk W = die Fantasie C-Dur op. 17.
      Widmungsträger dieser Fantasie war Komponist L = Franz Liszt.
      Franz Liszt revanchiert sich Jahre später, indem er Robert Schumann Werk X = die Sonate h-Moll widmete.

      Die einsätzige und gleichzeitig mehrsätzige Wanderer-Fantasie von Franz Schubert inspirierte Liszt zur formalen Schöpfung der „Sonate in einem Satz“, deren prominentestes Beispiel eventuell die Sonate h-moll ist.

      Feld A9: 760 geteilt durch 2 ergibt 380, die erste Ziffer das Quotienten ist 3.
      Feld I9: die zweite Ziffer des Quotienten ist 8.
      Feld F4: 380 geteilt durch 2 ergibt 190, die zweite Ziffer dieses Quotienten ist 9.

      Lösungsversuche

      Robert Schumann, Sonate für Klavier f-Moll op. 14
      Robert Schumann, Kreisleriana op. 16
      Franz Liszt, Sonate für Klavier h-Moll

      Threads und CDs

      Zur Wandererfantasie haben wir leider noch keinen Thread!

      Folgende Aufnahmen mag ich empfehlen: Clifford Curzon, Svjatoslav Richter, Alfred Brendel (1971), Murray Perahia,.



      Un homme d'esprit est perdu s'il ne joint pas à l'esprit l'énergie de caractère. Quand on a la lanterne de Diogène, il faut avoir son bâton. (Nicolas-Sébastien de Chamfort)
    • Rätsel Nr. 8

      Bei einigen der gesuchten, seinerzeit fortschrittlichen Werke griff der Komponist auf eine wesentlich ältere Kompositionstechnik zurück.

      Musikalischer Teil: Gesucht sind Komponist und Werkgruppe.

      Mathematischer Teil: Heute wird es etwas anspruchsvoller - aber nicht mehr als gymnasiale Mittelstufe. Wir nehmen das Jahr, in welchem das Opus komponiert wurde (es gilt die in der englischen Wikipedia genannte Jahreszahl; es wird nicht überraschen, dass diese vierstellig ist). Wir nehmen die aus der Tausender- und der Hunderterziffer gebildete zweistellige Zahl und multiplizieren sie mit -1 (minus eins). Die solchermaßen erhaltene negative Zahl nennen wir a. Nun nehmen wir die aus der Zehner- und Einerziffer gebildete, ebenfalls zweistellige Zahl und nennen sie b. Die Zahlen a und b verwenden wir nun als Koeffizienten einer normierten quadratischen Gleichung x^2 + a*x + b = 0. (Beispiel: wäre 1234 das Jahr der Komposition, so wäre x^2 -12x+34 = 0 die aufzustellende Gleichung.) Unsere quadratische Gleichung hat zwei Lösungen. Die kleinere Lösung schreiben wir in das Feld D8 und die größere in das Feld B6. (Wer den Koeffizienten der Gleichung nicht sofort die Lösung ansieht, etwa mithilfe des Satzes von Vieta, darf natürlich bspw. auch die sogenannte p-q-Formel verwenden.)

      Lösungen

      Gesucht waren die Streichquartette op. 20 von Joseph Haydn. Bei dreien dieser sechs Quartette setzte Haydn eine Fuge als Finale, die er auch ausdrücklich als solche bezeichnete, mit zwei, drei und vier Themen. Dessen ungeachtet gilt diese Werkgruppe vielen Kammermusikfreunden als erste vollgültige Ausformulierung der neuen Gattung „Streichquartett“ und als wesentlicher Schritt zur weiteren Entwicklung der Gattung. Von Beethoven und Brahms ist belegt, dass sie einzelne Quartette aus op. 20 zwecks Studiums abschrieben.

      Die englische Wikipedia sagt, die Quartette seien im Jahr 1772 entstanden.
      Die aufzustellende Gleichung lautet also x^2 -17x + 72 = 0.

      Am elegantesten löst man die Gleichung mit dem Satz von Vieta. Dieser sagt: Sind x1 und x2 die Lösungen der Gleichung, so ist x1 * x2 = 72 und x1 + x2 = 17.
      Da die Lösungen des Sudoku wegen ganzzahlig sein sollen und zwischen 1 und 9 liegen müssen, bleiben wegen x1 * x2 = 72 für x1 und x2 nur 8 und 9, was auch x1 + x2 = 17 erfüllt.

      Man kann natürlich auch mit quadratischer Ergänzung lösen:

      x^2 -17x + 72 = 0
      x^2 -17x = -72
      x^2 – 17x + (17/2)^2 = -72 + (17/2)^2

      Anwendung der zweiten binomischen Formel auf die linke Seite liefert:

      (x – 17/2)^2 = -72 + 289/4 = -72 + 72 + ¼ = ¼
      x – 17/2 = +/- Wurzel aus 1/4 = +/- 1/2
      x1 = 17/2 + 1/2 = 18/2 = 9
      x2 = 17/2 – 1/2 = 16/2 = 8

      Diesen Weg mag man als unangemessen aufwändig empfinden, aber er führt natürlich ebenfalls zum Ziel.

      Feld D8: 8
      Feld B6: 9

      Lösungsversuche

      J. S. Bach, Das wohltemperierte Klavier
      J. S. Bach, Das musikalische Opfer

      Threads und CDs

      Hier der Thread zum Werk. – Meine Favoriten sind die Aufnahmen des Hagen Quartetts und des Doric Quartet.

      Un homme d'esprit est perdu s'il ne joint pas à l'esprit l'énergie de caractère. Quand on a la lanterne de Diogène, il faut avoir son bâton. (Nicolas-Sébastien de Chamfort)
    • Rätsel Nr. 9

      Wird die Einleitung wiederholt oder nicht?

      Musikalischer Teil: Gesucht sind Komponist und Werk.

      Mathematischer Teil: Heute füllen wir gleich vier Felder, gestern waren es ja nur zwei. Die erste bzw. die zweite Ziffer der Opuszahl tragen wir in die Felder A5 bzw. E7 ein, die Anzahl der Töne des ersten Akkords des Werkes in das Feld F2 und die Anzahl der Vorzeichen des ersten und letzten Satzes in das Feld I1. (Na ja, Mathematik ist das eigentlich nicht ...)

      Lösungen

      Gesucht war die Sonate für Klavier Nr. 8 c-Moll op. 13 („Pathétique“) von Ludwig van Beethoven, bei welcher unklar ist, ob bei der Wiederholung der Exposition auch die langsame Einleitung wiederholt werden soll. – Der erste Akkord des Werkes hat sieben Töne, C-Es-G-c-es-g-c‘.

      Feld A5: 1 (erste Ziffer der Opuszahl)
      Feld E7: 3 (zweite Ziffer der Opuszahl)
      Feld F2: 7 (Anzahl der Töne des ersten Akkordes)
      Feld I1: 3 (Anzahl der Vorzeichen des ersten und letzten Satzes; c-Moll hat drei b)

      Lösungsversuche

      Franz Schubert, Klaviersonate Nr. 21 B-Dur D. 960 (hier geht es um die Frage, ob die Exposition wiederholt wird, welche auch heute noch von den Interpreten verschieden beantwortet wird – mit jeweils nachvollziehbaren Argumenten.)

      Threads und CDs

      Hier der Thread zum Werk. Darin gibt es eine Fülle von Empfehlungen, so dass ich nur die Melodia-Aufnahme mit Svjatoslav Richter hervorheben möchte.

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    • Rätsel Nr. 10

      Obwohl zu einem akademischen Anlass uraufgeführt, verweigert sich dieses Werk jeder Form, die akademische Erwartungen erfüllen würde.

      Musikalischer Teil: Gesucht sind Komponist und Werk.

      Mathematischer Teil: Wir teilen das Jahr der Uraufführung solange durch 2, bis wir eine einstellige Zahl erhalten. (Teilen ohne Rest: Also ggf. abrunden. Beispiel: 1111 -> 555 -> 277 -> 138 -> 69 -> 34 -> 17 -> 8.) Diese einstellige Zahl schreiben wir in das Feld A6. - Die Quersumme der Opuszahl schreiben wir in das Feld H5.

      Lösungen

      Gesucht war das Klaviertrio Nr4 e-Moll op. 90 von Antonín Dvořák. Es besteht aus sechs Sätzen, nicht einer von diesen steht in der erwartbaren Sonatenhauptsatzform. Uraufgeführt wurde das Werk an dem Tage, an welchem der Komponist mit der Ehrendoktorwürde der Prager Karlsuniversität ausgezeichnet wurde, dem 11. April 1891.

      Bei der ganzzahligen Division der Jahreszahl 1891 durch 2 ohne Rest erhalten wir nacheinander:
      1891 -> 945 -> 472 -> 236 -> 118 -> 59 -> 29 -> 14 -> 7

      Feld A6: 7
      Feld H5: 9

      Lösungsversuche

      Antonín Dvořák: Klavierquintett A-dur op. 81
      Gustav Mahler: Klavierquartett a-Moll
      Paul Hindemith: Kammermusik Nr. 1 op.24
      Dmitri Schostakowitsch: Klaviertrio Nr. 1 op. 8
      Arnold Schönberg: Streichtrio op. 45
      Béla Bartók: Kontraste für Klarinette, Violine und Klavier
      Morton Feldman: String Quartet No. 2

      Threads und CDs

      Zur Kammermusik Dvořák haben wir bislang leider nur einen Sammelthread. – Darin findet sich die nachstehende Empfehlung zu den Klaviertrios des Meisters, der ich bereits folgte und die ich für eine sehr gelungene Aufnahme halte:

      Un homme d'esprit est perdu s'il ne joint pas à l'esprit l'énergie de caractère. Quand on a la lanterne de Diogène, il faut avoir son bâton. (Nicolas-Sébastien de Chamfort)
    • Rätsel Nr. 11

      Das letzte Stück des gesuchten Zyklus ist der aktuellen Jahreszeit angepasst.

      Musikalischer Teil: Gesucht sind der Zyklus und sein Komponist.

      Mathematischer Teil: Die Anzahl der Buchstaben des Nachnamens des Komponisten schreiben wir in das Feld C5. Die Anzahl x der Stücke des Zyklus zerlegen wir derart in eine Summe x = a + b, dass a das Quadrat von b ist. Die Zahl a schreiben wir in Feld D7, die Zahl b in das Feld G4. - Hatte ich das schon gesagt? Jede hier vorkommende Zahl ist Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten.

      Gesucht ist der Zyklus „Etudes d’exécution transcendante“ von Franz Liszt, das letzte Stück darin heißt „Chasse neige“ = „Schneetreiben“. – Der letzte Satz der Rätselstellung „Jede hier vorkommende Zahl ist Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten“ weist darauf hin, dass alle vorkommenden Zahlen algebraisch sind – das ist einfach der Ausdruck für „ist Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten“. Der Gegensatz zu „algebraisch“ ist „transzendent“ – das ist ein versteckter Hinweis auf das gesuchte Werk.

      (Die Quadratwurzel aus 5 ist algebraisch, denn sie ist eine Nullstelle des Polynoms x^2 – 5. Die Kreiszahl π ist nicht algebraisch, denn es gibt kein Polynom mit rationalen Koeffizienten, welches π als Nullstelle hat. Dies zu beweisen ist alles andere als trivial und gelang erstmals Carl Louis Ferdinand von Lindemann im Jahre 1882. Die Transzendenz von π wird darum auch als „Satz von Lindemann“, manchmal auch als „Satz von Lindemann-Weierstraß“ bezeichnet, was nicht ganz richtig ist, da der Satz von Lindemann eigentlich eine viel allgemeinere Aussage trifft. – Aus der Transzendenz von π folgt die Unmöglichkeit der sogenannten „Quadratur des Kreises“, also der Aufgabe, zu einem gegebenen Kreis mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches Quadrat zu konstruieren.)

      Feld C5: 5
      Der Zyklus hat 12 Stücke, 12 = 9 + 3 = 3^2 + 3.
      Feld D7: 9
      Feld G4: 3

      Lösungsversuche

      Franz Schubert: Winterreise D 911
      Fanny Hensel: Das Jahr
      Robert Schumann: Album für die Jugend op. 68
      Franz Liszt: Weihnachtsbaum
      Franz Liszt: Années de pèlerinage
      Pjotr Iljitsch Tschaikowski: Die Jahreszeiten op. 37a
      Claude Debussy: Préludes, Livre II (Feux d’artifice)
      Maurice Ravel: Gaspard de la nuit

      Threads und CDs

      Zu den Klavierwerken Liszt haben wir – bis auf einen Thread zur Sonate h-Moll – bisher nur einen Sammelthread.

      Standard-Empfehlungen zu den „Transzendentalen Etüden“ sind die Aufnahmen mit Berman und Berezowsky, in der jüngeren Vergangenheit hat Trifonov eine Einspielung vorgelegt, die mit viel Lob bedacht wurde.

      Un homme d'esprit est perdu s'il ne joint pas à l'esprit l'énergie de caractère. Quand on a la lanterne de Diogène, il faut avoir son bâton. (Nicolas-Sébastien de Chamfort)
    • Rätsel Nr. 12

      Dieses kammermusikalische Werk wird gerne mit einer ansonsten kaum näher bezeichneten Insel in Zusammenhang gebracht.

      Musikalischer Teil: Gesucht sind Komponist und Werk.

      Mathematischer Teil: Alle, die sich daran versucht haben, haben die quadratische Gleichung gelöst - prima! Heute lösen wir eine kubische Gleichung. (Ich weiß nicht, wo Ihr zur Schule gegangen seid - aber mit dem hier verwendeten Verfahren haben wir das in der Mittelstufe gemacht ... ) Wir greifen auf die Nummer des Werkes in demjenigen Verzeichnis zurück, welches bei diesem Komponisten zumeist verwendet wird. Wir addieren die erste und die dritte Ziffer dieser Nummer, multiplizieren diese Summe mit -1 (minus eins) und nennen das Ergebnis a. Die zweistellige Zahl b erhalten wir durch Vertauschen der ersten und zweiten Ziffer der Nummer des Werkes. Für die dritte zweistellige Zahl c bilden wir das Produkt der ersten und der zweiten Ziffer und multiplizieren auch dieses mit -1 (minus eins). Die so erhaltenen ganzen Zahlen a, b, und c verwenden wir als Koeffizienten einer normierten kubischen Gleichung x^3 + a*x^2 + b*x + c = 0. Die drei Lösungen dieser Gleichungen tragen wir der Größe nach, mit der kleinsten beginnend, in die Felder B3, H1 und C9 ein. (Tipp: Eine der drei Lösungen errät man durch Betrachten der Koeffizienten. Mit dieser Lösung reduziert man die Ausgangsgleichung durch Polynomdivision zu einer quadratischen Gleichung.)

      Lösungen

      Gesucht war das Streichquintett C-Dur D. 956 von Franz Schubert – für viele Musikfreunde das Werk, welches sie als erstes auf die berühmte einsame Insel mitnehmen würden.

      a = (9 + 6) * (-1) = -15
      b = 59
      c = - 9*5 = -45

      Die aufzustellende normierte kubische Gleichung lautet also x^3 – 15x^2 + 59x - 45 = 0.
      Durch „Hinsehen“ (15+45 ist fast 59 …) erraten wir die Lösung x1 = 1. (Probe: 1 – 15 + 59 – 45 = 0; stimmt.).

      Polynomdivision liefert
      x^3 – 15x^2 + 59x -45 = (x-1) (x^2 - 14x + 45)
      x^3 – x^2
      ---------------
      …...- 14 x^2 + 59x
      …...- 14 x^2 + 14x
      …... -------------------
      ……..…………45x – 45
      ………..………45x – 45
      …………..……------------
      ……………...…………0

      Dem Polynom x^2 - 14x + 45 sehen wir vermöge des Satzes von Vieta (siehe Rätsel Nr. 8 ) die Nullstellen x2 = 5 und x3 = 9 sofort an.

      Wir sortieren die drei Nullstelen des kubischen Polynoms der Größe nach und tragen ein:

      Feld B3: 1
      Feld H1: 5
      Feld C9: 9

      Lösungsversuche

      Franz Schubert: Klaviertrio Nr. 2 D 929

      Threads und CDs

      Hier der Thread zum Werk. Darin finden sich zahlreiche Empfehlungen. Meine Favoriten sind zurzeit die Aufnahmen mit dem Alban Berg Quartett und Heinrich Schiff (leider, leider fehlt im Kopfsatz die Wiederholung der Exposition) sowie die Aufnahme mit dem Quatuor Ébène, welches sich mit Gautier Capuçon am zweiten Cello verstärkte.

      Un homme d'esprit est perdu s'il ne joint pas à l'esprit l'énergie de caractère. Quand on a la lanterne de Diogène, il faut avoir son bâton. (Nicolas-Sébastien de Chamfort)
    • Sudoku

      Hat man alle mathematischen Teile gelöst, so erhält man folgendes Ausgangstableau als zu lösende Aufgabe:

      8|17|53
      1|9|2
      4|852|9
      ---+---+---
      5|7|98
      9||37
      76|93|
      ---+---+---
      |34|6
      5|9|71
      32|7|8



      Löst man dieses, so erhält man folgendes Tableau:

      829|617|543
      651|439|872
      743|852|619
      ---+---+---
      435|721|986
      918|564|327
      276|983|154
      ---+---+---
      197|348|265
      584|296|731
      362|175|498


      An dieser Stelle noch einmal die Aufgabenstellung für das Lösungswort:

      Mauerblümchen schrieb:

      Liebe Rätselfreundinnen und Rätselfreunde,

      da sich das Sudoku-Tableau bei denen, die auch den mathematischen Teil bearbeiten, so nach und nach füllt, möchte ich schon die Anleitung zum Lösungswort geben.

      Aus dem gelösten Sudoku benötigt Ihr die Felder B5, A3, D6, C3, H8, I2, F8 und G1 - in dieser Reihenfolge.

      Den darin enthaltenen Ziffern ordnet Ihr Buchstaben zu. Leider ist die Zuordnung nicht eindeutig. Es sind möglich:

      1 - A, J, S
      2 - B, K, T
      3 - C, L, U
      4 - D, M, V
      5 - E, N, W
      6 - F, O, X
      7 - G, P, Y
      8 - H, Q, Z
      9 - I, R


      Nun denn - für das Lösungswort benötigt man die nachstehenden Felder:

      B5: 3
      A3: 9
      D6: 1
      C3: 3
      H8: 3
      I2: 6
      F8: 5
      G1: 1

      Die Ziffernfolge 3-9-1-3-3-6-5-1 ist also in eine Buchstabenfolge zu verwandeln. Mit beherztem Probieren erhält man C-I-A-C-C-O-N-A.

      Ciaccona ist somit das Lösungswort und bezeichnet den letzten Satz aus der Partita Nr. 2 d-Moll für Violine solo von Johann Sebastian Bach.
      Un homme d'esprit est perdu s'il ne joint pas à l'esprit l'énergie de caractère. Quand on a la lanterne de Diogène, il faut avoir son bâton. (Nicolas-Sébastien de Chamfort)